Geometría

La palabra geometría se divide en dos palabras de acuerdo a su etimología griega, que son: “geo” (significa tierra) y “metría (significa medir), “medición de la tierra”. La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las idealizaciones del espacio o el plano en términos de las propiedades y medidas de las figuras geométricas, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos.

La Geometría no estudia el espacio real en sí mismo, sino objetos ideales (también conocidos como objetos matemáticos o geométricos), sus propiedades, relaciones y teorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de otros objetos ideales creados previamente (en el espacio real no existen círculos, pentágonos, rectas, puntos, esferas… sino objetos que tienen forma de… o modelizados por…; la realidad física siempre es menos perfecta que la realidad geométrica pensada o ideal).

Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras. Los conceptos fundamentales de la Geometría son punto, recta y plano. De allí se derivan otros como semirrecta, segmento, vectores y semiplano.

Los instrumentos más usados en Geometría son la regla, la escuadra, el transportador para medir ángulos, el compás y el teodolito. La Geometría es una ciencia de gran utilidad para otras ciencias, como la Astronomía, la Física o la Ingeniería.

La geometría presenta diversos campos, tales como la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclidiana.

Historia de la geometría

La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 360 días, además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría.

Componentes elementales

Los componentes elementales que se presentan en la geometría son: puntos, rectas y planos.

Punto: Un punto es un objeto que no tiene dimensiones que indica una posición en el espacio. Se suelen designar con letras mayúsculas A, B, C,… P,…

Recta: Es una línea ilimitada por ambos extremos. Se suele denotar con letras minúsculas r, s, t,… Como representación en la realidad de una recta podemos tomar un hilo tenso, o el borde de una regla.

Plano: es una superficie ilimitada cuya concreción en el mundo real puede verse, por ejemplo, en la superficie de una mesa, una hoja de papel,… Se suele representar con las letras griegas π1, π2, π3,…

Los puntos son objetos de la geometría lineal, puntos y rectas dan lugar a la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son objetos de la geometría espacial.

Enfoques o ramas de la geometría

Para clasificar los diferentes desarrollos de la Geometría moderna se pueden recurrir a diferentes enfoques:

Geometrías según el tipo de espacio

La familia de geometrías según el tipo de espacio son:

- La geometría absoluta, que es el conjunto de hechos geométricos derivables a partir únicamente de los primeros cuatro postulados de Euclides.

- La geometría euclídea, que es la geometría particular que se obtiene de aceptar como axioma también el quinto postulado. Los griegos consideraron dos variantes de geometría euclídea: Geometría euclídea del plano y Geometría euclídea del espacio

- La geometría clásica es una recopilación de resultados para las geometrías euclídeas.

- La geometría elíptica.

- La geometría esférica.

- La geometría finita.

- La geometría hiperbólica.

- La geometría riemanniana.

Geometrías asociadas a transformaciones

La familia de geometrías asociadas a transformaciones son:

- Geometría afín.

- Geometría conforme.

- Geometría convexa.

- Geometría discreta.

- Geometría de incidencia.

- Geometría ordenada.

- Geometría proyectiva.

Geometría según el tipo de representación

La familia de geometrías según el tipo de representación son:

- La geometría algebraica.

- La geometría analítica.

- La geometría descriptiva.

- La Topología geométrica.

- La geometría diferencial.

- La Geometría fractal.

- Geometría sintética.

Axiomas y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después —cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo— originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

Conclusión

La necesidad de la enseñanza de la geometría en la escuela responde al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico es indispensable para desenvolverse y en cuestiones como para orientarse reflexivamente en el espacio o como para hacer estimaciones sobre formas, distancia, también para hacer operaciones y cálculos relativos a la distribución de objetos en el espacio.